[지2] 천체가 지평선 위에 떠 있는 시간

천체가 지평선 위에 떠 있는 시간은 어떻게 구할 수 있을까? 아래와 같은 간단한 기하를 통해 이 시간이 위도와 적위에 의존하는 간단한 함수임을 알 수 있다. 

 

천구의 모습. 하늘색이 일주권이다.

먼저 위 그림을 보자. 이때 임의의 천체의 일주권은 하늘색 원과 같다. 천구를 반지름이 1인 구로 생각하고 천체의 적위를 $\delta$, 지역의 위도를 $\varphi$라 하면, 지평선과 일주권이 만나는 두 점을 이은 직선, 그리고 지평선의 반지름이 이루는 삼각형의 높이는 $\displaystyle\frac{\sin\delta}{\cos\varphi}$이다. 이제 일주권이 나타내는 원에서 이어서 살펴보자.

 

일주권의 모습.

이제 오른쪽 그림을 보면 일주권에서의 삼각형의 높이가 $\sin\delta\tan\varphi$임을 알 수 있고, 따라서 
$$\cos\alpha=\tan\varphi\tan\delta$$가 된다. 이때 우리가 구하고자 하는 천체가 지평선 위에 떠 있는 부분만큼의 각도는 $2\pi-2\alpha$이다. 여기서 천체의 일주 각속도가 $(2\pi/24\mathrm{h})$이므로, 천체가 지평선 위에 떠 있는 시간은 $$T=\frac{24}{2\pi}(2\pi-2\alpha)=\frac{24}{\pi}(\pi-\alpha)$$가 된다. 따라서 천체가 지평선 위에 떠 있는 시간은
$$T=24-\frac{24}{\pi}\arccos\left(\tan\varphi\tan\delta\right)\;\left[\mathrm{h}\right]$$임을 알 수 있다.

 

이를 그래프로 그리면 임의의 위도 $\varphi$에서

 

지평선 위에 떠 있는 시간($T$)

요렇게 나온다. 예쁜 대칭이다.